資源量と個体数のダイナミクス - 持続的な発展は可能か？ -

はじめに

資源が使われなければ蓄積されたり，使いすぎたら枯渇するようなシステムにおける個体数（人口）のダイナミクスを考えたいと思います．
地球で言えば，エネルギーが太陽などから流入し，それが（例えば石油といった形で）蓄積されています．
消費量が流入量と釣り合っていれば個体数は安定しそうですが，（今の地球のように）釣り合っていない場合が存在し，そのとき個体数は安定になりうるか？ということを考えるのが目的です．

エネルギーが蓄積されない場合は，ロジスティック成長をすると思います．

モデル

資源の量をr，その資源を使う種の個体数をpで表します（ $r,p \in \mathcal{R}^+$ ）．
それのダイナミクスは次のように書けると思います．
$\dot{r} = a - crp$ (1)
$\dot{p} = bcrp - dp$ (2)
$a,c,b,d \in \mathcal{R}^+$
式1の意味

資源は太陽光などとして，常に一定量の流入があると考えます．そのため資源の増加量をaとしました．
個体が資源を見つける確率はrpに比例します．そのため資源の消費量をcrpとしました．cは一個体辺りの資源消費量です（これは子の産める量にも関わってきます（次の1項目参照））．

式2の意味

一個体が産める子の量は消費した資源の量に比例するとします．そのため個体数の増加量をbcrpとしました．
各個体は一定確率で死ぬとしました．これは寿命のようなものによると考えてください．そのため個体数の減少量をdpとしました．

平衡状態の解析

個体が絶滅するかどうか？などこのシステムの平衡状態について解析します．
このシステムの平衡状態は
$r^* = d/(bc)$
$p^* = ab/d$
です．この平衡点は常に安定です．
そのため，ここで考えている個体は絶滅はしなさそうです．よかったよかった．

aは外からの流入で，dは寿命なので，この二つは不変だと考えると，この個体はbを増加させることで，それに比例して個体数を増やすことができます．
bとは繁殖に関する資源利用の効率の良さと言えます．なので，資源利用の効率を上げることで，その分だけこの個体は繁栄することができます．
ただし，一般に効率は最大で1なため，b の上限は1です．そのため，ここで考えているようなシステムには，（なにをやったとしても）個体数の上限が存在することがわかります．

ダイナミクスの解析

平衡状態に至るまでの時間発展を調べます．
以下にr，pの数値計算の結果を示します．

初期値はr = 1.0，p = 0.001，パラメータはa = 1.0, b = 0.7, c = 0.3, d = 0.3です．
$\Delta t = 0.01$ としてオイラー法で計算しました．

最初の段階では，個体数pが非常に少ないため，資源量rは時間に比例して増加していきます（ $0 \leq t < 1$ ぐらい）．
しかし，個体数pは資源量rが十分あれば指数関数的に増加するため，しばらくしてから個体数pは爆発的に増加します（t=1近傍）．
そうすると，資源の流入（a）より消費量（brp）の方が非常に大きくなるため，個体数の増加と共に資源は一気に減少します．
資源が減少するので，それに少し遅れて，個体数が激減します（1 < t < 2）．
その後は，資源の流入と消費の釣り合いのとれている資源量r・個体数pになり，安定します（パラメータによっては細かい振動を何度か経ることがあります）．これは前項目で考察した平衡状態です．